Entiers premiers entre eux ou non ? - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{Z}\) . Dans chaque cas, démontrer que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.

1. \(a=2n+5\) et \(b=n+3\)

2. \(a=7n+2\) et \(b=4n+1\)

3. \(a=(n+4)^2\) et \(b=(n+3)(n+5)\)

Solution

1. On remarque que : \((-1)a+2b=-(2n+5)+2(n+3)=-2n-5+2n+6=1\)  donc d'après le théorème de Bézout, \(a=2n+5\) et \(b=n+3\) sont premiers entre eux.

2. On remarque que :  \(4a+(-7)b=4(7n+2)-7(4n+1)=28n+8-28n-7=1\)  e donc d'après le théorème de Bézout, \(a=7n+2\) et \(b=4n+1\) sont premiers entre eux.

3. On a \(a=(n+4)^2=n^2+8n+16\)  et \(b=(n+3)(n+5)=n^2+5n+3n+15=n^2+8n+15\) . 
On remarque que :  \(1a+(-1)b=(n^2+8n+16)-(n^2+8n+15)=1\)  donc d'après le théorème de Bézout, \(a=(n+4)^2\) et \(b=(n+3)(n+5)\) sont premiers entre eux.